课程笔记-环论(2022-04-27~2022-05-07)

前言：在博客建好以后将近一个月，Alicia终于想起了要在博客上写笔记的计划……

SJTU抽象代数课程环论部分的笔记

基本概念(4-27)

环的定义与性质

定义

 对于非空集合R，在R上定义运算+，⋅ 满足：

(R1) (R, +)是Abel群

(R2) (R, ⋅)是半群

(R3) 左右分配律成立，即

∀a, b, c ∈ R, a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c, (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a

那么则称(R, +, ⋅)为一个环(ring)，简称R为环

补充说明

1. 若(R, ⋅) 交换，则称之为交换环，否则称非交换环。

2. (R, +)中的单位元称为0元，记为0

   a关于+的逆元称为负元，记为−a

3. 0元、负元唯一。

4. 若(R, ⋅)有单位元，记为1_R（或1）(即∀a ∈ R, a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a）称R是有单位元的环。（(R, ⋅)为幺半群）

例子

1. R = {0}，称R为零环（单位元和0元均为0）

2. (ℤ, +, ×), (ℚ, +, ×), (ℝ, +, ×), (ℂ, +, ×)均成（交换）环（单位元为1,零元为0）

3. 𝔽上的全矩阵环：𝕄_n(𝔽)关于矩阵乘法，矩阵加法作成环，不交换（单位元I_n，零元为0矩阵）

4. 模n的剩余类环ℤ_n：定义加法：$\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}$，定义乘法：$\overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{ab}$。

   1. (ℤ_n, +, ⋅)成（交换）环

   2. 零元：$\overline{0}$，单位元：$\overline{1}$

5. 整系数多项式环ℤ[x]：ℤ[x]关于多项式的加法和乘法成（交换）环（单位元f ≡ 1,零元0函数）

6. [a, b]上的连续函数环：C[a, b]关于函数的加法和乘法成环

7. 环的直和：R₁, ⋯, R_n为n个环，令

   R = R₁ ⊕ R₂ ⊕ ⋯ ⊕ R_n = {(a₁, a₂, ⋯, a_n)|a_i ∈ R_i, i = 1, ⋯, n}

   则R关于逐项加法（各分量逐项按照R_i中的加法相加）和逐项乘法（各分量逐项按照R_i中的乘法相乘）成环。

   1. 显然R交换⇔ R_i交换 i = 1, ⋯, n

   2. R有单位元⇔ R_i有单位元 i = 1, ⋯, n

环的性质

Prop:设R为环，则

1. 0 ⋅ a = 0 = a ⋅ 0  ∀a ∈ R

2. (−a) ⋅ b = −(ab) = a ⋅ (−b), (−a) ⋅ (−b) = ab  ∀a, b ∈ R

3. R的单位元若存在则必定唯一

4. R的单位元若存在且R不是0环，则1 ≠ 0

Proof:

1. 0 ⋅ a + 0 ⋅ a = (0 + 0) ⋅ a = 0 ⋅ a 由加法消去有0 ⋅ a = 0，同理a ⋅ 0 = 0

2. (−a) ⋅ b + ab = (−a + a)⋅ = 0 ⋅ b = 0 a ⋅ (−b) + ab = a ⋅ (−b + b) = a ⋅ 0 = 0，从而(−a) ⋅ b = −(ab) = a ⋅ (−b)，从而(−a)(−b) = ab

3. 反证

4. 若1 = 0，则∀0 ≠ a ∈ R, a ⋅ 1 = a = a ⋅ 0 = 0，矛盾。故1 ≠ 0

零因子

对于环R，若有a, b ∈ R  a ≠ 0, b ≠ 0, ab = 0

则称a为R的一个左零因子，b称为R的一个右零因子

R中有左零因子和右零因子统称有零因子

若R无零因子，称其为无零因子环，否则称有零因子环。

例子

𝔽上的全矩阵环：有零因子环

ℤ, ℚ, ℝ, ℂ：无零因子环

ℤ_𝟞：$\bar{2}\cdot\bar{3}=\bar{0}$ 故2, 3为零因子，有零因子环

ℤ_𝟝：无零因子环

注意：有左零因子⇔有右零因子，但是左（右）零因子未必是右（左）零因子，例子如下

设

$$ R=\{\left[\begin{array}{cc} 0 &0\\ x&y\\ \end{array}\right]|x,y\in \mathbb{R}\} $$

成环，求其零因子

解：$\forall \left(\begin{array}{cc} 0 &0\\ x&y\ \end{array}\right)$由$\left(\begin{array}{cc}0&0\\a&0\end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{cc}0 &0\\x&y\\\end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{cc}0 &0\\0&0\\\end{array}\right)$

∴ R中每个非零元都是右零因子，且$\left(\begin{array}{cc}0&0\\a&0\\\end{array}\right),a\not=0$是左零因子

但是a ≠ 0,$\small\left(\begin{array}{cc}0&0\\*&a\\\end{array}\right)$ $\small\left(\begin{array}{cc}0&0\\x&y\\\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}0&0\\ax&ay\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\\\end{array}\right)\Rightarrow x=0$, y = 0

$\therefore \left(\begin{array}{cc}0&0\\x&a\\\end{array}\right)$ 不是左零因子

定理

环R 中没有左（右）零因子⇔ R 中左（右）消去成立

证明（只证明对左零因子）：

$\Rightarrow:a\not =0,ab=ac\Rightarrow a(b-c)=0 \stackrel{\because 无左零因子}{\Longrightarrow}b-c=0,b=c$

 ⇐  : ∀a ≠ 0, a ∈ R,若∃ab = 0,则ab = a ⋅ 0 = 0,由左消去律有b = 0

∴ R无左零因子

单位

设R有单位元1 ,a ∈ R^*(非零元所成的集合),若a有逆元,则称a为R的单位

记U(R) = {R中所有单位}

∀a, b ∈ U(R), ab ⋅ b⁻¹a⁻¹ = 1 ⇒ ab ∈ U(R), a⁻¹ ∈ U(R)

故U(R)成群,称为R的单位群

如$U(\mathbb{Z}_6)=\{\bar{1},\bar{5}\},U(\mathbb{Z}_5)=\mathbb{Z}_5^*$

环的分类

整环

有单位元,无零因子,交换的非零环

例子:(ℤ, +, ×), (ℚ, +, ×), (ℂ, +, ×), ℤ[x], ℚ[x], ℂ[x], ℤ_p(p : prime)

例(高斯整环)

ℤ[i] = {a + bi|a, b ∈ ℤ}是整环(高斯整环),求ℤ[i]的单位

解:设α ∈ ℤ[𝕚], α ≠ 0, α为单位,α = a + bi.

则∃x = x + yi ∈ ℤ[𝕚], s.t.  αx = 1有|α|²|x|² = 1, i.e(a² + b²)(x² + y²) = 1

$$ \therefore a^2+b^2=1 有 \begin{cases} a=\pm1 \\ b=0 \\ \end{cases} 或 \begin{cases} a=0 \\ b=\pm1 \\ \end{cases} $$

U(ℤ[i]) = {1, −1, i, −i} ≅ ℤ₄

除环(体)

环R ≠ {0} (R^*, ⋅)成群,称R为除环

注:

1. R为除环,则R至少含有0, 1

2. U(R) = R^*

例:(ℚ, +, ×),(ℝ, +, ×), (ℂ, +, ×)

例:设$e=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right),i=\left(\begin{array}{cc}i&0\\0&i\\\end{array}\right),\small j=\left(\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\\\end{array}\right),\normalsize k=\left(\begin{array}{cc}0&i\\i&0\\\end{array}\right)$

H = {a₀e + a₁i + a₂j + a₃k|a_i ∈ R, i = 0, 1, 2, 3}

则有i² = j² = k² = −e, ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j

故H对矩阵乘法和加法成环

$\forall q\in H^*,q=\left(\begin{array}{cc}u&v\\-\bar{v}&\bar{u}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} a_0+a_1i & a_2+a_3i\\-a_2+a_3i & a_0-a_1i\\\end{array}\right)$ (a_i不全为0)

q = |u|² + |v|² = a₀² + a₁² + a₂² + a₃² ≠ 0

故q有逆元,从而H为一个除环,非交换(实四元数环)

又称Hamilton四元数体

定理

环R ≠ {0}有限,R无左右零因子,R为除环

证明:(R^*, ⋅)半群,因满足左右消去律成群,故R为除环

域

交换的除环(即,(R, +), (R^*, ⋅)均为Abel群)

例子:如ℚ, ℝ, ℂ, ℤ_𝕡

具有有限个元素的域称为有限域

定理

ℤ_𝕡是域⇔ n 为素数

证明: ⇒ : 反证,设n = n₁n₂, n₁, n₂ > 1 则有$\overline{n_1},\overline{n_2}=\bar{0}$

而$\overline{n_1},\overline{n_2}\not=0$ 故ℤ_n有零因子,与ℤ_n为域矛盾

∴ n为素数

 ⇐ :设p为素数,从而$\mathbb{Z}_p\not=\{\bar{0}\}$

∀k̄ ∈ ℤ_p^* 由(k, p) = 1,∃a, b ∈ ℤ,使得ak + bp = 1,有$\bar{a}\bar{k}=\bar{1}$.

故a有逆元,$\bar{1}\in \mathbb{Z}_p$ .从而(ℤ_𝕡^*, ⋅)成群且交换,故ℤ_p为域

注:ℤ_p是最简单的有限域

推论

有限整环是域

子环和子域(4-29)

定义

设(R, +, ⋅)是一个环（域），∅ ≠ S ⊂ R ，若S关于R的运算构成环（域），称S为R的子环（域）。

注：

1. 由定义，S为R的子环，则(S, +)为(R, +)的子加群。

2. R中的0元是S中的0元，S中元的负元是在R中的负元

3. S为R的子域，则(S, +)为(R, +)子加群，(S^*, ⋅)为(R, ⋅)子乘群（Abel）群

定理1

设R为一个环，∅ ≠ S ⊂ R，则S为R的子环⇔

1. (S, +)为(R, +)的子加群

2. ∀a, b ∈ S, ab ∈ S

定理2

设R为一个环，∅ ≠ S ⊂ R，则S为R的子环⇔

(1)∀a, b ∈ S, a − b ∈ S  (a + b ∈ S, −a ∈ S)

(2)∀a, b ∈ S, ab ∈ S

定理3

设K为域,∅ ≠ F ⊂ K,则F为K的子域⇔

∀a, b ∈ F, c, d ∈ F^*有a − b ∈ F, cd⁻¹ ∈ F^*

如:$\{a+b\sqrt{-1}|a,b\in \mathbb{Q}\}\subset \mathbb{C}$ 是ℂ的子域

但$\{a+b\sqrt{-1}|a,b\in\mathbb{Z}\}$不是ℂ的子域

例子

例1:{0}, R均为R的子环(平凡子环)

例2:对(ℤ, +, ×),S = {nℤ}是ℤ的子环

特别的:2ℤ是ℤ的子环,但2ℤ没有单位元.

例3:求ℤ₁₈的所有子环

    解:由群论已有结论ℤ₁₈的所有子加群$\langle\bar{1}\rangle,\langle\bar{2}\rangle,\langle\bar{3}\rangle,\langle\bar{6}\rangle,\langle\bar{9}\rangle,\langle\bar{0}\rangle$

$\langle\bar{1}\rangle=\mathbb{Z}_{18}$,$\langle\bar{2}\rangle=\{\bar{0},\bar{2},\bar{4},\bar{6},\bar{8},\overline{10},\overline{12},\overline{14},\overline{16}\}$ ,$\langle\bar{3}\rangle=\{\bar{0},\bar{3},\bar{6},\bar{9},\overline{12},\overline{15}\}$ ,$\langle\bar{6}\rangle=\{\bar{0},\bar{6},\overline{12}\}$ ,$\langle\bar{9}\rangle=\{\bar{0},\bar{9}\}$ 故所有的子加群即为它所有的子环,共六个.

例4:设R为环，证明C(R) = {r ∈ R|rs = sr  ∀s ∈ R}为R的一个子环（称为环R的中心）

证明：∵0 ∈ C(R)  ∴ ∅ ≠ C(R) ⊂ R

∀r₁, r₂ ∈ C(R)∀s ∈ R有(r₁ − r₂)s = r₁s − r₂s = sr₁ + s(−r₂) = s(r₁ − r₂)

∴ r₁ − r₂ ∈ C(R)

r₁r₂s = (r₁s)r₂ = sr₁r₂ ∴ r₁r₂ ∈ C(R)

故C(R)为R的子环

理想，商环和环同态

理想

定义

设R为环，∅ ≠ I ⊂ R ，若I满足

1.∀r₁, r₂ ∈ I，有r₁ − r₂ ∈ I

2.∀r ∈ I, s ∈ R有rs, sr ∈ I

称I为R的一个理想(ideal).若I ⊊ R ，称I为真理想

注：0和R为R的平凡理想（trivial ideal）.

例子

1.求ℤ的全部理想

解：由前知，ℤ的全部子环为{mℤ|m = 0, 1, 2, ⋯}吸收性满足。所以其即为ℤ的全部理想。

性质

定理1:

设R为环，I, J都是R的理想，则I + J, I ∩ J, IJ均为R的理想

证明：

(i). I + J = {a + b|a ∈ I, b ∈ J},I ∩ J = {a ∈ R|a ∈ I, a ∈ J},$IJ=\{\sum_{i=1}^{m}a_ib_i|a_i\in I,b_i\in J\}$

I + J为R的子加群，I ∩ J为R的子加群

∀r ∈ R, α ∈ I + J, α = a + b  a ∈ I, b ∈ J有

rα = r(a + b) = ra + rb ∈ I + J

同理αr ∈ I + J，故I + J为R的理想

(ii). ∀α ∈ I ∩ J  rα ∈ I ∩ J  αr ∈ I ∩ J

故I ∩ J是R的理想

(iii).∀α, β ∈ IJ，设α = ∑_ia_ib_i, β = ∑_jc_jd_j, a_i, c_j ∈ I, b_i, d_j ∈ J

有α − β = ∑_ia_ib_i − ∑c_jd_j = ∑_ia_ib_i + ∑(−c_j)d_j ∈ IJ

∀r ∈ R  rα = ∑_i(ra_i)b_i ∈ IJ, αr = ∑_ia_i(b_ir) ∈ IJ

故IJ是R的理想

注：推广到任意有限多个，即{I_i|i = 1, ⋯, n}均为R的理想，

则$\sum_{i=1}^n I_i,\bigcap_i I_i,\prod_{i=1}^n I_i$均为R的理想。

有$\prod_{i=1}^n I_i\subset \bigcap_i I_i \subset I_i\subset \sum_{i=1}^n I_i$

例子

在环(ℤ, +, ⋅)中，设H = {4k|k ∈ ℤ}, N = {6l|l ∈ ℤ},则H, N均为ℤ的理想

H + N = {4k + 6l|k, l ∈ ℤ} = {2m|m ∈ ℤ},

HN = {∑24kl|k, l ∈ ℤ},H ∩ N = {12k|k ∈ ℤ}

单环

定义

环R,若R没有非平凡理想,则称R为单环.

推论

设F为域,则F上的全矩阵环M_n(F)是单环

证明:设∀I是M_n(F)的理想 I ≠ {0} 则取A = (a_ij)_n × n ∈ I, A ≠ 0

不妨设a_kl ≠ 0,故有a_kl⁻¹E_ikAE_li = E_ii ∈ I,

从而$e=E=\sum_{i=1}^n E_{ii}\in I$ ,从而由吸收性有∀B ∈ M_n(F), B ⋅ E = B ∈ I

故I = M_n(F).从而M_n(F)为单环.

注:M_n(ℤ)整数环上的矩阵环就不是单环(取I = M_n(2ℤ)则I为M_n(F)的非平凡理想)

若1 ∈ I,则∀x ∈ R, x ⋅ 1 = x ∈ I,R是单环(由此可知柱和域都是单环).

理想的构造

主理想

R为环,a ∈ R,令Σ = {包含a的R的所有理想}.则Σ ≠ ∅

令⟨a⟩ = ⋂_I ∈ ΣI则⟨a⟩为R的理想

称为由a生成的主理想(principal ideal)

主理想的构成

定理1

设R为环,a ∈ R,则

(i).⟨a⟩ = {∑_ix_iay_i + xa + ay + ma|x_i, y_i, x, y ∈ R, m ∈ ℤ}

(ii).若1 ∈ R,则⟨a⟩ = {∑_ix_iay_i|x_i, y_i ∈ R}

(iii).若R交换,则⟨a⟩ = {xa + ma|x ∈ R, m ∈ ℤ}

(iv).若R有单位元的交换环,则⟨a⟩ = {ar|r ∈ R} = aR

证明:

(i).式子右边记为I,∀J ∈ Σ, x_iay_i ∈ J.xa, ay, ma ∈ J

故I ⊂ J从而I ⊂ ⋂_J ∈ ΣJ

∀b, c ∈ I,明显地有b − c ∈ I, rb, br ∈ I  ∀r ∈ R

故I是R的理想（根据定义有⋂_J ∈ ΣJ ⊂ I）,a ∈ I,从而I = ⟨a⟩.

故(i)成立

(ii).若1 ∈ R,xa = xa ⋅ 1, ay = 1 ⋅ ayma = m ⋅ 1 ⋅ a = (m ⋅ 1)a ⋅ 1

故⟨a⟩ = {∑_ix_iay_i|x_i, y_i ∈ R}

(iii).若R交换,则x_iay_i = x_iy_ia, ay = ya从而

⟨a⟩ = {xa + ma|x ∈ R, m ∈ ℤ}

(iv).若1 ∈ R, R交换,故有ma = (m1) ⋅ a = (m1) ⋅ a

从而⟨a⟩ = {xa|x ∈ R} = aR = Ra

例子:

(ℤ, +, ⋅)所有理想{mℤ} = ⟨m⟩(也是主理想)

(ℤ_n, +, ⋅)所有理想⟨m̄⟩ (m ∈ ℤ₊, m|n)(也是主理想)

一般地,若S = {a₁, ⋯, a_n} ⊂ R

令⟨a₁, ⋯.a_n⟩ = ⟨a₁⟩ + ⟨a₂⟩ + ⋯ + ⟨a_n⟩ ,记为⟨S⟩

称为由S生成的理想.

例子（5-7）

高斯整环ℤ[i]，求⟨1 + i⟩

解 ℤ[i] 有单位元的交换环，故

$\begin{aligned}\langle 1+i\rangle&=(1+i)\mathbb{Z}[i]\\&=\{x+yi|x+yi=(1+i)(a+bi),\forall a+bi\in\mathbb{Z}[i]\}\\&=\{a-b+(a+b)i|\forall a,b\in \mathbb{Z}\}\\&=\{x+yi|x,y同奇偶\}\end{aligned}$

例2

在ℤ中，a, b ∈ ℤ，求⟨a, b⟩

解：因为ℤ是有单位元的交换环

$\therefore \begin{aligned}\langle a,b\rangle &=\langle a\rangle +\langle b\rangle =\{k_1a|k_1\in\mathbb{Z}\}+\{k_2b|k_2\in\mathbb{Z}\}\\&=\{kd|d=(a,b),k\in\mathbb{Z}\}\end{aligned}$

主理想整环

整环D，若D的每个理想均为主理想，称D为主理想整环，记为PID

如：ℤ，主理想整环

（ℤ_n不是主理想整环 因为n不是质数时ℤ_n有零因子 不是整环）

商环

环上的商群

设R是一个环，I是R的理想，i.e (I, +) ⊲ (R, +)

商群R/I = {x̄ = x + I|x ∈ R}

加法：$\bar{x}+\bar{y}=\overline{x+y}$（已有的）

定义乘法：$\bar{x}+\bar{y}=\overline{x\cdot y},x,y\in R$

证明乘法well-defined：

    若$\overline{x_1}=\overline{x_2},\overline{y_1}=\overline{y_2},x_1,x_2,y_1,y_2\in R$

    有x₁ − x₂ ∈ I, y₁ − y₂ ∈ I

    有x₁y₁ − x₂y₂ = x₁y₁ − x₁y₂ + x₁y₂ − x₂y₂ = x₁(y₁ − y₂) + (x₁ − x₂)y₂ ∈ I

    $\therefore \overline{x_1y_1}=\overline{x_2y_2}$ 从而定义的乘法是R/I上的二元运算

证明R/I构成环：

∀x, y, z ∈ R，明显地$(\bar{x}\cdot\bar{y})\cdot\bar{z}=\overline{xy}\cdot \overline{z}=\overline{xyz}=\bar{x}\cdot\overline{yz}=\bar{x}\cdot(\bar{y}\cdot\bar{z})$

故结合律满足

$\bar{x}(\bar{y}+\bar{z})=\bar{x}\cdot\overline{y+z}=\overline{x(y+z)}=\overline{xy+xz}=\overline{xy}+\overline{xz}=\bar{x}\cdot\bar{z}+\bar{x}\cdot{y}$

$(\bar{y}+\bar{z})\cdot\bar{x}=\overline{(y+z)\cdot x}=\overline{yx+zx}=\bar{y}\cdot\bar{x}+\bar{z}\cdot\bar{x}$

分配律成立

从而R/I构成环

商环的定义

称R/I为环R关于理想I的商环

如： ℤ/⟨m⟩ = ℤ_m

商环的性质

   设R为环，I是R的理想，则

1. $\bar{0}=I$是R/I的零元

2. 若R有单位元1且1 ∉ I 则$\bar{1}=1+I$为R/I的单位元

3. 若R为交换环，则R/I交换环

证明是显然的。

例子

1.ℤ[i]，试确定ℤ[i]/⟨1 + i⟩

解：⟨1 + i⟩ = {x + yi|x, y同奇偶}

∀a + bi ∈ ℤ[i]，若a, b奇偶性相同，则a + bi ∈ ⟨1 + i⟩（即$\bar{0}$）

a, b一奇一偶，a + bi = 1 + a − 1 + bi（a − 1 + bi ∈ ⟨1 + i⟩）$\in \bar{1}$

$\therefore \mathbb{Z}[i]/\langle1+i\rangle=\{\bar{0},\bar{1}\}$

2.一元多项式环F[x]，F为数域

P(x) = a₀ + a₁x + ⋯ + a_nxⁿ, a_n ≠ 0

H = ⟨P(x)⟩ 求F[x]/H

解：$\begin{aligned}F[x]/H &=\{r(x)+\langle P(x)\rangle|r(x)\in F[x],deg(r(x))<n\}\\&=\{\overline{r(x)}|deg(r(x)<n\}\end{aligned}$

环同态

定义

设R, R′为两个环，ϕ : R → R′ 为映射

若∀a, b ∈ R，有

1. ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b)

(2)ϕ(a ⋅ b) = ϕ(a) ⋅ ϕ(b)

则称ϕ为R → R′的同态映射

简称R与R′的同态

注：若ϕ单射，称其为单同态（嵌入）

若ϕ满射，称其为满同态

单&满，同构

R到自己的同态或同构称自同态/自同构

ϕ为环同构且R,R′均为域，称为域同构

例子

1.ϕ : R → R′,∀a ∈ R, ϕ(a) = 0′ ∈ R′

零同态

2.$\begin{aligned}\phi:\mathbb{Z}&\rightarrow \mathbb{Z}_m\\a&\mapsto \bar{a}\end{aligned}$

满射

$\phi(a+b)=\overline{a+b}=\bar{a}+\bar{b}=\phi(a)+\phi(b)$

$\phi(a\cdot b)=\overline{ab}=\bar{a}\cdot\bar{b}=\phi(a)\cdot\phi(b)$

故为满同态

性质

prop：设ϕ : R → R′环同态，则

1. Kerϕ是R的理想，Kerϕ = {a ∈ R|ϕ(a) = 0′}

2. ϕ单同态⇔ Kerϕ = {0}

3. 满同态⇔ Imϕ = R′

4. 设I是R的理想，则π : R → R/I π(r) = r + I, ∀r ∈ R是满同态且Kerπ = I

证明略（同群论）

例子

1.设$R=Q[x],R'=Q(\sqrt2)=\{a+b\sqrt2|a,b\in Q\}$

令$\begin{aligned}\phi:R&\rightarrow R'\\f(x)&\mapsto f(\sqrt2)\end{aligned}$ 证明ϕ为满同态并且Kerϕ = ⟨x² − 2⟩

解：

由$f(\sqrt2)$唯一确定，知ϕ为映射

$\forall a+b\sqrt2\in R'$ ，有a + bx ∈ R = Q[x], s.t. $\phi(a+bx)=a+b\sqrt2$

故ϕ为满射

∀f(x), g(x) ∈ Q[x],$\begin{aligned}\phi(f(x)+g(x))&=f(\sqrt2)+g(\sqrt2)\\&=\phi(f(x))+\phi(g(x))\end{aligned}$

$\phi(f(x)\cdot g(x))=f(\sqrt2)g(\sqrt2)=\phi(f(x))\phi(g(x))$

故ϕ为满同态

∀f(x) ∈ Kerϕ, ϕ(f(x)) = 0

$f(x)=(x^2-2)q(x)+a+bx,\phi(f(x))=f(\sqrt2)=a+b\sqrt2=0$

∴ a = b = 0, (x² − 2)|f(x)

另一方面，∀f(x) = (x² − 2)q(x), ϕ(f(x)) = 0

∴ Kerϕ = ⟨x² − 2⟩

2.prop:$\phi:\bar{1}\rightarrow \bar{a}$为ℤ_m到ℤ_n的同态⇔ $m\bar{a}=\bar{0}$且ā² = ā

证明：

 ⇒ : $\because \mathbb{Z}_m=\langle\bar{1}\rangle$

$\therefore \phi(m\cdot\bar{1})=m\phi(\bar{1})=m\bar{a}=\phi(\bar{m})=\phi(\bar{0})=\bar{0}$

$\phi(\bar{1}\cdot\bar{1})=\phi(\bar{1})=\phi(\bar{1})\phi(\bar{1})={\bar{a}}^2=\bar{a}$

 ⇐ : $\begin{aligned}\phi:\mathbb{Z}_m&\rightarrow\mathbb{Z}_n\\\bar{x}&\mapsto\phi(\bar{x})=\phi(x\cdot\bar{1})=x\bar{a}\end{aligned}$

在ℤ_m中若x̄ = ȳ 则有m|x − y由$m\bar{a}=\bar{0}$

有(x − y)ā = 0 即n|(x − y)ā，即n|xā − yā

故xā = yā 所以ϕ为映射

$\begin{aligned}\forall \bar{x},\bar{y}\in\mathbb{Z}_m,\phi(\bar{x}+\bar{y})&=\phi(\overline{x+y})=(x+y)\bar{a}\\&=\phi(\bar{x})+\phi(\bar{y})\end{aligned}$

$\begin{aligned}\phi(\bar{x}\cdot\bar{y})&=\phi(\overline{xy})=xy\bar{a}=xy\bar{a}^2=x\bar{a}\cdot y\bar{a}\\&=\phi(\bar{x})\cdot\phi(\bar{y})\end{aligned}$

故ϕ为同态

3.求ℤ₄到ℤ₁₂的所有环同态

$\begin{aligned}\phi:\mathbb{Z}_4&\rightarrow\mathbb{Z}_{12}\\\bar{1}&\mapsto\bar{a}\end{aligned}$

在ℤ₁₂中$4\bar{a}=\bar{0},\bar{a}^2=\bar{a},\therefore \bar{a}=\bar{0},\bar{9}$

故ℤ₄到ℤ₁₂的所有环同态为$\phi_1(\bar{x})=\bar{0},\phi_2(\bar{x})=9\bar{x}$

环同态基本定理

同态基本定理

设f : R → R′是环同态，则有环同构R/Kerf ≅ Imf

特别的，若f为满同态，则有R′ ≅ R/Kerf

证明：

由同态基本定理，有：

$\begin{aligned}\phi:R/Kerf&\rightarrow Imf\\\bar{a}&\mapsto f(a)\end{aligned}$ 为群同构

∀ā, b̄ ∈ R/Kerf 有$\begin{aligned}\phi(\bar{a}\cdot\bar{b})&=\phi(\overline{ab})=f(ab)=f(a)f(b)\\&=\phi(\bar{a})\phi(\bar{b})\end{aligned}$

故ϕ为环同构，即R/Kerf ≅ Imf

例子

1.$\begin{aligned}\phi:\mathbb{Z}&\rightarrow \mathbb{Z}_m\\a&\mapsto\bar{a}\end{aligned}$ 满同态，Kerϕ = ⟨m⟩

故ℤ/⟨m⟩ ≅ Imϕ = ℤ_m

2.$\begin{aligned}\phi:Q[x]&\rightarrow Q(\sqrt2)\\f(x)&\mapsto f(\sqrt2)\end{aligned}$

$Ker\phi=\langle x^2-\sqrt2\rangle$

有$Q[x]/Ker\phi\cong Q(\sqrt2)$

3.I为环R的理想$\begin{aligned}\phi:M_n(R)&\rightarrow M_n(R/I)\\ (a_{ij})_{n\times n}&\mapsto (\overline{a_{ij}})_{n\times n}\end{aligned}$满同态

Kerϕ = {(a_ij)_n × n|a_ij ∈ I} = M_n(I)

故M_n(R)/M_n(I) ≅ M_n(R/I)

如：R = ℤ, I = 2ℤ

同构定理

第一同构定理：设S为R的子环，I为环R的理想，则I + S是R的子环，I ∩ S是S的理想，且I + S/I ≅ S/I ∩ S

子环对应定理：设I是环R的理想，令$\text{T}=\{S为R的子环|I\subset S\}\\\Omega=\{R/I的子环\}$

则Φ : T → Ω是双射，其中Φ(S) = S/I, ∀S ∈ T，特别的，R/I中任意子环形如S/I, I ⊂ S(S为R的子环)

第二同构定理：设J也是R的理想且I ⊂ J，则J/I是R/I的理想，且有环同构(R/I)/(J/I) ≅ R/J

证明均类似群的证明。

例子

环ℤ中，m, n ∈ ℤ, I = ⟨m⟩, s = ⟨n⟩

则I + S = ⟨m⟩ + ⟨n⟩ = ⟨(m, n)⟩,I ∩ S = ⟨[m, n]⟩，

有(I + S)/I ≅ S/(I ∩ S),即(m, n)ℤ/mℤ ≅ nℤ/[m, n]ℤ

如m = 4, n = 6

左边$=\{\bar{0},\bar{2}\}$，右边$=\{\bar{0},\bar{6}\}$

$|左|=\frac{jm}{(m,n)}=\frac{[m,n]}{n}=|右|$，由此有mn = (m, n)[m, n]